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Chemie für Quereinsteiger - Band 2 - Strukturen der Metalle und Legierungen - Verknüpfung von Metall-Atomen gleicher Art
5.1.1 Dichteste Kugelpackungen im Raum

Wir können nun solche dichtest gepackten Kugelschichten aufeinander stapeln und erhalten so eine raumfüllende Kugelpackung. Die Art des Stapelns müssen wir uns aber genau ansehen, besser noch: wir sollten sie durch das Hantieren mit Kugeln nachvollziehen, um sie tatsächlich zu "begreifen" (gleichgroße Kugeln aus Papier oder Holz und Kleber sind nötig, einen Baukasten speziell zum Bau von Kugelpackungen liefert Firma Geomix, Frankfurt: Baukasten "Strukturen der Metalle", Art-Nr. 2.6085).

Legen wir eine dichtest gepackte Kugelschicht zugrunde, so läßt sich eine zweite solche Schicht dicht daraufpacken, wie es (1) in Abbildung 5.2 zeigt. Es ist zu erkennen, daß jede Kugel der oberen Schicht drei Kugeln der unteren Schicht berührt und umgekehrt. Jede Kugel besetzt somit eine Dreierlücke der anderen Kugelschicht.

Verbindet man die Mittelpunkte aller vier Kugeln, so erhält man einen hochsymmetrischen Raumkörper, den Tetraeder (vgl. (2) in Abb. 5.2). Er besitzt sechs gleichlange Kanten und vier gleiche gleichseitige Dreiecke als Flächen. Als "regelmäßiger Vierflächner" hat der Tetraeder sei-nen Namen erhalten (griechisch: tetra = 4, hedra = Fläche).



Abb. 3.13

Abbildung 5.2: Dichteste Kugelpackungen aus zwei Kugelschichten

Symbolisch kann man diese räumliche Anordnung von vier Kugeln durch einen Tetraeder angeben. Betrachten wir die Kugelpackung aus zwei Kugelschichten von oben (1), so sehen wir darin die vielfache Wiederholung des Tetraeder-Bauprinzips: Jede Kugel der oberen Schicht sitzt exakt in einer Dreierlücke der darunterliegenden Schicht.

Verfolgen wir noch einmal im einzelnen das Besetzen der Lücken einer Dreiecksmusterschicht von oben (3). Um die markierte Kugel sitzen sechs Nachbarn, diese bilden zusammen mit der Zentrumskugel sechs Lücken. Wir können in jede dieser Lücken eine Kugel hineinverknüpfen. Bei mehreren Kugeln bekommen wir aber Schwierigkeiten, weil offensichtlich der Platz nicht ausreicht, um in jede der sechs Lücken eine Kugel hineinzusetzen. Wir können nur drei Lücken von den sechs zur Verfügung stehenden besetzen. In (4) sind die Lücken 1, 3 und 5 besetzt, in (5) die Lücken 2, 4 und 6. Das sieht auf den ersten Blick so aus, als ob dies gleichgültig wäre. Solange wir nur zwei Schichten zusammensetzen, trifft das auch zu. Bei der dritten hinzukommenden Schicht dagegen können wir tatsächlich verschieden bauen.

Betrachten wir nochmals die Lücken der Anordnung (4): Die Lücken 2, 4 und 6 sind frei. Sie bleiben es auch, wenn man weitere Kugeln in der zweiten Schicht dazulagert. Im Modell kann man durch diese Lücken mit einer Stricknadel hindurchstochern oder hindurchschauen, wir werden diese "Hindurchschaulücken" noch näher kennenlernen.

Wie bereits erwähnt, können wir die dritte Schicht jetzt verschieden einfügen. Zunächst heben wir dazu das Modell (4) in Gedanken hoch und schieben drei weitere Kugeln so darunter, daß sie genau in die gleiche Lage mit den oben liegenden Kugeln kommen. Die Projektion von oben ändert sich dabei nicht, die Lücken 1, 3 und 5 sind sowohl von oben aus gesehen besetzt als auch von unten aus gesehen.
Das "Hindurchschauen" durch die Lücken 2, 4 und 6 wird dabei nicht gestört: Von den drei Schichten sind also die beiden Dreiergruppen bei der Draufsicht deckungsgleich.

Allerdings können wir die drei neuen Kugeln auch in einer anderen Art anordnen, nämlich unter die Lücken 2, 4 und 6 des Modells (4) in Abbildung 5.2. Jetzt sind keine zwei deckungsgleichen Schichten vorhanden, die "Hindurchschaulücken" gibt es nicht mehr, weil sie von unten her besetzt sind. Modelle dieser beiden verschiedenen Kugelpackungen aus drei Kugelschichten zeigen (1) bis (4) in Abbildung 5.3 sowohl in der Draufsicht als auch in der Seitenansicht.



Abb. 3.13

Abbildung 5.3: Anordnung gleich großer Kugeln in der Ebene

Die Darstellungen (3) und (4) der Abbildung 5.3 sind lediglich kleine Ausschnitte aus Kugelpackungen, die das Bauprinzip darlegen - jede Schicht kann beliebig weit im Dreiecksmuster fortgesetzt werden. Die beiden Bautypen, die bei den Metallen am häufigsten vorkommen, sind diejenigen, die sich in der Schichtenfolge immer wiederholen und zwar entweder in der Folge ABABAB... (3) oder in der Folge ABCABC... (4). Dieses Abzählen bezieht sich auf die dichtest gepackten Kugelschichten im Dreiecksmuster !

Die Modelle lassen ebenfalls erkennen, daß zwölf Kugeln die zentrale Kugel berühren: sechs in der Ebene, drei von oben, drei von unten (vgl. (5) und (6) in Abb. 5.3). In einer dichtesten Packung von Teilchen bindet also ein Teilchen zwölf weitere Teilchen, die Koordinationszahl im Raum ist 12. Es empfiehlt sich, die beiden Koordinationspolyeder (3) und (4) selbst aus Kugeln zusammen zu bauen, um die beiden Konstruktionen der dichtesten Kugelpackungen zu verstehen und auseinanderzuhalten. Für Informationszwecke sollen sie einen geeigneten Namen erhalten.

Die Namen sind nach bestimmten Kugelformationen gewählt worden, die aus den Kugelpackungen stammen. Solche "herausgeschnittenen" Kugelverbände sind beispielsweise die Modelle (3) und (4), die letztlich das System mitteilen, nach dem Kugeln zusammengesetzt werden sollen.

Solch ein Informationsausschnitt wird nach zwei Gesichtspunkten gewählt:
1. Er muß die gesamte Information enthalten, wie weitere Kugeln zu größeren Kugelpackungen zu ergänzen sind,
2. der Ausschnitt soll so symmetrisch wie möglich sein, weil dann das Weiterbauen am einfachsten nachzuvollziehen ist.

Symmetrie wird hier in der allereinfachsten Weise darin gesehen, wie oft ein Körper in spiegelgleiche Teile zerschnitten werden kann. Am Beispiel eines regelmäßigen sechseckigen Körpers und eines Würfels (vgl. (1) und (2) in Abb. 5.4) wollen wir das demonstrieren. Den Sechseckkörper können wir wie eine Torte von oben nach unten dreimal durch die Ecken schneiden, dreimal durch die Kantenmitten, und einmal in der Höhe halbieren. Jedesmal erhalten wir zwei gleiche Teile. Das sind bei diesem Raumkörper insgesamt sieben Schnitte.



Abb. 3.13

Abbildung 5.4: Symmetrieüberlegungen an Sechseckprisma, Würfel und Kugel

Durch den Würfel können wir von oben gesehen zweimal durch je zwei gegenüberlie-gende Ecken schneiden (Schnitte 1 und 3 in (2) der Abb. 5.4). Wenn wir berücksichtigen, daß die Schnitte bis zur Grundfläche hindurchgehen, dann gelten die zwei Schnittmöglichkeiten immer für die Grund- und Deckfläche gemeinsam. Da der Würfel sechs Flächen besitzt, also drei Paare von Grund- und Deckflächen, können wir einen Würfel sechs mal durch gegenüberliegende Ecken in spiegelgleiche Teile zerschneiden. Nun kann man dies weiterhin durch die Kantenmitten tun (Schnitte 2 und 4). Da ein Schnitt für je vier Kanten der gleiche ist, sind bei insgesamt zwölf Kanten nur drei verschiedene Schnitte möglich: Ein Würfel läßt sich also durch Ecken und Kantenmitten insgesamt genau neun mal in zwei spiegelgleiche Teile zerschneiden.

Der Fachmann, der Kristallograph, nennt diese Schnittflächen auch Symmetrieebenen. Die meisten Symmetrieebenen würden wir natürlich bei einer Kugel finden, nämlich unendlich viele (vgl. (3) in Abb. 5.4). Je mehr sich also ein Körper einer Kugel annähert, desto höher muß seine Symmetrie sein. Da das Sechseckprisma nur sieben Symmetrieebenen besitzt, der Würfel dagegen neun, können wir schließen, daß der Würfel "kugeliger" ist, also eine viel bessere Symmetrie aufweist als der Sechseckkörper. Bei der Auswahl von Standard-Informationskörpern werden wir -wenn uns die Wahl bleibt- demnach immer den Würfel einem Sechseckskörper vorziehen.

Wenden wir uns nun dem Problem zu, einen möglichst hochsymmetrischen Raumkörper aus unseren dichtesten Kugelpackungen herauszuschälen. Dazu bauen wir auf eine Dreiecksgrundfläche eine Kugelpyramide mit der Schichtenfolge ABAB, eine zweite mit der Schichtenfolge ABCABC. Wir stellen fest, daß die Seitenflächen der ersten Pyramide völlig wellig sind, während die der zweiten Pyramide glatt sind (vgl. (1) und (2) in Abb. 5.5).

Auf der Suche nach dem Standard-Informationskörper in der Pyramide (1) findet man etwa den Ausschnitt (1a), der sich im Vergleich zu anderen Ausschnitten am besten be-währt hat. Solch ein Raumkörper mit einem Sechseck oder auch Hexagon (griechisch: hexa = sechs, gonia = Knie) als Deckfläche ist ein Sechseckprisma, dementsprechend wird die Packung hexagonal dichteste Kugelpackung genannt.

Wenn wir in einer solchen symmetrischen Kugelpackung wie (1a) nun die Kugelmittel-punkte durch Linien miteinander verbinden, erhalten wir abstrakte Raumkörper ohne jede Kugel, die aber trotzdem die Information liefern, wo die Kugeln hingehören (1b). Wir müssen uns also damit vertraut machen, Kugeln und ihre bestimmten Positionen in eine räumliche Figur umzudenken. Umgekehrt müssen wir uns darin üben, eine abstrakte Raumfigur gedanklich mit Kugeln bestücken zu können: darin sind die Kristallographen Meister. Es empfiehlt sich, zur Information einmal Lehrbücher der Kristallographie durchzusehen.

Auf der Suche nach einem möglichst hochsymmetrischen Raumkörper mag es noch etwas besseres als (1a) geben. Unsere Kugelpackung mit der Schichtenfolge ABAB können wir allerdings drehen und wenden wie wir wollen - die Suche würde erfolglos sein. Die Ursache dafür ist, daß wir in dieser Kugelpackung außer den Dreiecks-musterschichten keine anderen ebenen Kugelflächen mehr finden.

Aus der zweiten dichtesten Kugelpackung (siehe (2) der Abb. 5.5) mit der Dreiecksmu-sterschichtung ABCABC können wir auf die gleiche Art ein hexagonales Prisma ausschneiden, wie die Modelle (2a) und (2b) es zeigen. Dieses Prisma ist ein Stockwerk höher als das der hexagonal dichtesten Kugelpackung. Es wird aber zur Beschreibung nur selten herangezogen, weil wir in dieser Kugelpackung tatsächlich bessere Raumkörper mit höherer Symmetrie herausschneiden können.



Abb. 3.13

Abbildung 5.5: Beide Formen dichtester Kugelpackungen

Das hat seine Ursache in der größeren Symmetrie dieser Kugelpackung. Bei dieser Ku-gelpackung sind in verschiedenen Richtungen völlig ebene Schichten von Kugeln anzutreffen, wie es die tetraedrische Anordnung von Kugeln (2) ausweist. Da in einen Tetraeder ein Würfel einbeschrieben werden kann, die Kugelpackung also eine würfelförmige Packung, einen Kubus enthält, wird sie auch kubisch dichteste Kugelpackung genannt. Um diesen Würfel erkennen zu können, sollen einige Vor-überlegungen stattfinden.

Zunächst soll ein Beispiel darlegen, wie aus vielen, regelmäßig angeordneten kugeligen Bausteinen ein regelmäßiger Raumkörper mit ebenen Begrenzungsflächen, also ein Kristall entstehen kann. Der geübte Kristallograph oder Mineraloge kann tatsächlich aus der Form des Kristalls Rückschlüsse auf die Teilchenanordnung ziehen. Wenn dies auch nicht genau funktioniert, so sind doch Ausschlußüberlegungen möglich, wie es nicht sein kann. Ein echter tetraedrischer Kristall, z. B. ein Diamant, kann demnach nie als Grundstruktur eine hexagonal dichteste Kugelpackung besitzen. Andererseits kann eine Schneeflocke, die immer eine sechseckige Form hat, nicht in der Art der kubisch dichtesten Kugelpackung gebaut sein.

Erstaunlicherweise besitzen die Begrenzungsflächen der Kugelpyramide (2) in Abbildung 5.5 wieder exakt die Bauweise des dichtesten Dreiecksmusters. Sie haben sich zwangsweise durch die räumliche Schichtung so ergeben. Entscheidend ist, daß diese Flächen in verschiedener Schnittrichtung zu finden sind, und zwar in vier Richtungen. Es sind dies genau die vier Schnittebenen, um aus einem Würfel einen Tetraeder herauszuschneiden (vgl. (4) in Abb. 5.4). Im Übrigen weist auch der Oktaeder die Symmetrieelemente eines Würfels auf, sodaß auch ein Oktaeder aus dem Würfel herauszuschneiden ist (vgl. (5) in Abb. 5.4).

Über die vier Schnittebenen hinaus gibt es in der kubisch dichtesten Kugelpackung weitere Flächen. Wir tragen dazu gedanklich von der Kugelpyramide (2) der Abbildung 5.5 die Kugeln einer Kante ab und betrachten die darunter liegenden Kugeln. Sie sind in Quadraten angeordnet, wobei die Kugelmittelpunkte alle in einer Fläche liegen (vgl. (3) in Abb. 5.5). Nehmen wir auch diese in Quadraten angeordneten Kugeln ab, erscheint darunter die gleiche Formation der Kugeln in einer Ebene. Diese Ebenen besitzen eigenartigerweise alle Quadratmuster.

Wir können dieses Quadratmaschenmuster ebenfalls wie das Dreiecksmuster auch symbolisch anhand der Kugelmittelpunkte darstellen (vgl. (1) und (2) in Abb. 5.6). Für manche Fälle ist es aber zweckmäßig, dieses Muster in großen Quadraten zu beschreiben, deren Zentren markiert sind (3): deshalb spricht man auch von "flächenzentrierten Quadraten". Bilder (2) und (3) sind also lediglich verschiedene Mitteilungsformen für das Quadratmaschenmuster (1). Wir werden häufig darauf zurückkommen, ein und dieselbe Sache in verschiedener Art mitzuteilen, über sie in verschiedenen Beschreibungsweisen zu informieren. Je mehr Beschreibungsweisen wir beherrschen, desto besser überblicken wir den Sachverhalt.



Abb. 3.13

Abbildung 5.6: Symmetrie in der kubisch dichtesten Kugelpackung

Eine Kugelanordnung mit Quadratmaschenmuster ist nicht mehr dichtest gepackt wie eine Fläche mit Dreiecksmuster. Wir sehen in der Darstellung (1) der Abbildung 5.6, daß jeweils nur vier Kugeln eine Zentrumskugel berühren.

Schichten wir eine weitere Kugelschicht darauf, so erhalten wir wiederum das Quadrat-muster. Im Gegensatz zum Dreiecksmuster werden in diesem Fall alle vier Lücken um eine Kugel herum besetzt (4). Heben wir in Gedanken die Kugelpackung (4) hoch und schieben vier weitere Kugeln so darunter, daß die Lücken 1 - 4 von unten geschlossen sind, so erkennen wir, daß die markierte Kugel von 4 + 4 + 4 = 12 Kugeln berührt wird (5). Weist die Koordinationszahl 12 darauf hin, daß die gleiche dichteste Kugelpackung wie in der Pyramide (2) der Abbildung 5.5 vorliegt ?


Bauen wir wieder eine Pyramide, diesmal aber mit einem Quadratmuster als Grundfläche (6). Wir beobachten, daß jede dritte Schicht identisch mit der ersten ist, also für die Quadratmaschen die Zählfolge 1 - 2 - 1 - 2 gilt. Wir sehen auch, daß die Kugeln der Begrenzungsflächen in einem dichtest gepackten Dreiecksmuster angeordnet sind. Wenn wir diese Flächen nacheinander abbauen, liegen darunter immer wieder dichteste Kugelschichten im Dreiecksmuster. Den Zusammenhang von Quadratmuster und Dreiecksmuster in der kubisch dichtesten Kugelpackung zeigt ebenfalls die Darstellung (7).

Dieses Ergebnis können wir folgendermaßen zusammenfassen: Die kubisch dichteste Kugelpackung läßt sich sowohl ausgehend von Kugelschichten im Dreiecksmuster als auch solchen mit Quadratmuster aufbauen. Beide Bauanleitungen stellen Beschreibungsweisen der gleichen Kugelpackung dar. Welche Beschreibung wir jeweils verwenden wollen, hängt von der Zweckmäßigkeit ab. Wichtig ist jedoch darauf hinzuweisen, daß die kubisch dichteste Kugelpackung nicht aus Dreiecks- oder Quadratmaschenschichten besteht, sondern daß wir sie anhand dieser Schichten beschreiben. Das ist ein sehr feiner sprachlicher, jedoch ein sehr wichtiger ge-danklicher Unterschied.

Sehen wir uns dazu nochmals (2) und (3) der Abbildung 5.6 an und stellen wir fest, daß beiden Quadratgittern dasselbe Punktmuster zugrunde liegt. Würden wir sagen, das Punktmuster besteht aus Quadraten und denken wir daran, daß das Wort "besteht" nahezu die Bedeutung des Wortes "ist" hat, dann ist der Umkehrschluß zulässig, daß das Punktgitter nicht aus etwas anderem besteht oder etwas anderes ist: Ein Punktmuster, das aus Quadraten besteht, kann also nicht ebenfalls aus Dreiecken bestehen. Man kann aber sehr wohl rechtwinklige Dreiecke in das Punktmuster hineinbeschreiben, wenn man etwa die Quadratgitter (2) und (3) zur Deckung bringt. So lassen sich sowohl einfache Quadrate (2) als auch flächenzentrierte Quadrate (3) und sogar Dreiecke in das vorgegebene Punktmuster hineininterpretieren oder hineinbeschreiben.

Wir kehren zurück zur Suche nach dem Würfel in der kubisch dichtesten Kugelpackung und legen dieses Mal die Kugelschichten mit Quadratmuster zugrunde. In (1) der Abbil-dung 5.7 ist zu erkennen, daß es zwei Möglichkeiten gibt, ein Quadrat als Grundfläche für einen Würfel zu finden. Wählen wir das kleine Kugelquadrat und schneiden senkrecht nach unten, bis wir in der übernächsten Kugelschicht das gleiche Kugelquadrat einschließen (vgl. auch (4) in Abb. 5.6), so gelangen wir Wir kehren zurück zur Suche nach dem Würfel in der kubisch dichtesten Kugelpackung und legen dieses Mal die Kugelschichten mit Quadratmuster zugrunde. In (1) der Abbil-dung 5.7 ist zu erkennen, daß es zwei Möglichkeiten gibt, ein Quadrat als Grundfläche für einen Würfel zu finden. Wählen wir das kleine Kugelquadrat und schneiden senkrecht nach unten, bis wir in der übernächsten Kugelschicht das gleiche Kugelquadrat einschließen (vgl. auch (4) in Abb. 5.6), so gelangen wir zu einem speziellen Quader, der in der Raummitte eine Kugel besitzt (vgl. (2) in Abb. 5.7). Da die Deckfläche ein Quadrat ist, heißt ein solcher Raumkörper auch tetragonales Prisma (griechisch: tetra = vier, gonia = Knie). Der Kristallograph würde den Ausschnitt auch "tetragonal raumzentrierte Zelle" nennen, da sich im Raumzentrum der acht Kugeln noch eine weitere Kugel befindet. Da diese Zelle allerdings keinen Würfel darstellt, fällt sie für die Suche aus.

Erst aus dem großen, flächenzentrierten Quadrat läßt sich ein Würfel bilden, da dasselbe Quadrat in der senkrechten Schicht ebenfalls zu finden ist. Man erkennt, daß der auf diesem Weg entstehende Elementarwürfel (3) aus 14 Kugeln zusammengesetzt ist: aus 5 + 4 + 5 Kugeln (4). Legt man das Dreiecksmuster zugrunde, so kann man den Würfel auch aus Dreiecksschichten aufbauen: In vier Schichten läßt er sich aus 1 + 6 + 6 + 1 = 14 Kugeln ebenfalls beschreiben (5). Dieser flächenzentrierte Kugelwürfel wird als Elementarkörper der kubisch dichtesten Kugelpackung gewählt. Dieser Elementarwürfel enthält die gesamte Information über die Symmetrie der kubisch dichtesten Kugelpackung.



Abb. 3.13

Abbildung 5.7: Elementarkörper der kubisch dichtesten Kugelpackung

Das Wechselspiel zwischen Dreiecksmuster und Quadratmuster spiegelt sich bereits in den einfachen Raumkörpern Tetraeder und Oktaeder wieder. Ein Tetraeder (vgl. (1) der Abb. 5.8) ist auf zweierlei Weise bezüglich der Papierebene zu orientieren: er kann einerseits auf einer Fläche, andererseits auf einer Kante stehen, sodaß die dazu parallele Kante ebenfalls zur Papierebene parallel verläuft. Die Projektion senkrecht von oben ergibt im ersten Fall ein Dreieck, im zweiten Fall ein Quadrat: in der Kugeldarstellung formen zwei kreuzweise übereinander gelegte Kugelpaare einen Tetraeder und die Projektion stellt ein Quadrat dar (1).

Ein Oktaeder besitzt acht Dreiecksflächen, davon sind je zwei Flächen parallel (vgl. (2) der Abb. 5.8). Legt man den Oktaeder mit einer Dreiecksfläche auf die Papierebene, so erhält man als Projektion ein Sechseck: das entspricht zwei übereinander geschichteten Kugeldreiecken. Stellt man den Oktaeder auf die Spitze, dann ergibt die Projektion ein Quadrat, ebenfalls bei entsprechender Kugeldarstellung.



Abb. 3.13

Abbildung 5.8: Tetraeder und Oktaeder als Ausschnitte der kubisch dichtesten Kugelpackung

Zusammenfassend lassen sich aufgrund der Abfolge von Dreiecks- oder Quadratschichten folgende Beschreibungsweisen der kubisch dichtesten Kugelpakkung aufführen:

1. Schichtenfolge ABCABC, Dreiecksmuster (vgl. (2) in Abb. 5.5)
2. Hexagonaler Ausschnitt (vgl. (2a) in Abb. 5.5)
3. Schichtenfolge 1 - 2 - 1 - 2, Quadratmuster (vgl. (6) in Abb. 5.6)
4. Tetragonal-raumzentrierte Zelle (vgl. (2) in Abb. 5.7)
5. Kubisch flächenzentrierter Würfel (vgl. (3) in Abb. 5.7)

Die kubisch dichteste Kugelpackung mit dem flächenzentrierten Elementarwürfel als In-formationspolyeder hat zentrale Bedeutung, weil sie sehr häufig den Strukturen wichtiger Substanzen, nämlich vielen Metallen und Salzen, zugrunde liegt. Abschließend sind in Tabelle 5.1 die griechischen Zahlwörter aufgeführt, die zu den Namen der Flächen führen, die im Text genannt werden. Es ist zu beachten, daß in jeder der aufgeführten regelmäßigen Flächen alle Winkel gleich groß und alle Seiten gleich lang sein müssen.

Tabelle 5.1a: Griechische Zahlenwörter und davon abgeleitete Flächen